RT三角形ABC,∠A=90°,∠B的平分线交AC于D,自A作BC的垂线交BD于E,自D作DF垂直BC,求证AEFD为菱形

Question

RT三角形ABC,∠A=90°,∠B的平分线交AC于D,自A作BC的垂线交BD于E,自D作DF垂直BC,求证AEFD为菱形

Answer 1

由角平分线定理可得AD=DF,∠ABD=∠CBD,设AE交BC的点为G,因为AG⊥BC,DF⊥BC,所以AG//DF,因为∠DBG+∠BEG=90° ,∠ABD+∠BDA=90° ,所以∠BDA=∠BEG=∠AED,所以AE=AD=DF,又DF//AE,所以四边形AEFD为平行四边形,又AD=DF,所以四边形AEFD为菱形.