已知一切x，y∈R，不等式x2+81x2-2xy+18x2-y2-a≥0恒成立，则实数a的取值范围是．

Question

已知一切x，y∈R，不等式x²+ (81)/(x2)-2xy+ (18)/(x) √(2-y2)-a≥0恒成立，则实数a的取值范围是___．

Answer 1

x²+(81)/(x2)-2xy+(18)/(x)√(2-y2)=（x-y）²+（(9)/(x)+√(2-y2)）²-2，
令z=（x-y）²+（(9)/(x)+√(2-y2)）²，
则z表示A（x，-(9)/(x)）点与B（y，√(2-y2)）两点的距离d的平方，
由A为双曲线y=-(9)/(x)上一点，B为半圆x²+y²=2（y≥0）上一点，
在同一坐标系中画出两曲线的图象，如下图所示：

可以看出两点间距离的最小值为2√(2)，
即距离的平方为8，
故z≥8，
∴x²+(81)/(x2)-2xy+(18)/(x)√(2-y2)=（x-y）²+（(9)/(x)+√(2-y2)）²-2≥6，
∴a≤6，所以实数a的取值范围是（-∞，6]，
故答案为：（-∞，6]