z=（xy）/(x^2+y^2)其中x^2+y^2不为oz=o其中x^2+y^2=0问在（0,0）点处z是否连续?偏导数是否存在?是否可微?

Question

z=（xy）/(x^2+y^2) 其中x^2+y^2不为o z=o 其中x^2+y^2=0 问在（0,0）点处z是否连续? 偏导数是否存在?
是否可微?

Answer 1

1.
因为
lim(x--->0,y---->0)（xy）/(x^2+y^2)极限不存在
如取y=kx,可得lim(y=kx,x--->0)（xy）/(x^2+y^2)=k/(1+k²)随着k的不同极限不同,所以不存在.
从而
函数不连续.（连续的定义是,这一点的极限=这一点的函数值,极限根本不存在,所以不连续）
2.
z对x的偏导数zx(0,0)=lim(x--->0)[z(x,0)-z(0,0)]/(x-0)=lim(x--->0)[0-0]/(x-0)=0
同理z对y的偏导数zy(0,0)=0,所以偏导数存在.
3.
lim(Δx--->0,Δy---->0)(Δz-dz)/ρ
=lim(Δx--->0,Δy---->0)(（ΔxΔy）/(Δx^2+Δy^2))/√(Δx^2+Δy^2)
=lim(Δx--->0,Δy---->0)(（ΔxΔy）/(Δx^2+Δy^2))^(3/2)
令Δx=ρcost,Δy=ρsint
原式=lim(ρ--->0)ρ²costsint/ρ³=lim(ρ--->0)costsint/ρ
极限不存在
所以不可微.