（2014•九江模拟）已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．①当a=-4时，求f（x）的最小值；②若函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围；③当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）

Question

（2014•九江模拟）已知函数f（x）=x²+2x+alnx（a∈R）．
①当a=-4时，求f（x）的最小值；
②若函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围；
③当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

①∵f（x）=x²+2x-4lnx（x＞0）
∴f′(x)＝2x+2−(4)/(x)＝(2(x+2)(x−1))/(x)（2分）
当x＞1时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0
∴f（x）在（0，1）上单调减，在（1，+∞）上单调增
∴f（x）_min=f（1）=3（4分）
②f′(x)＝2x+2+(a)/(x)＝(2x2+2x+a)/(x)（5分）
若f（x）在（0，1）上单调增，则2x²+2x+a≥0在x∈（0，1）上恒成立⇒a≥-2x²-2x恒成立
令u=-2x²-2x，x∈（0，1），则u＝−2(x+(1)/(2))2+(1)/(2)，u_max=0
∴a≥0（7分）
若f（x）在（0，1）上单调减，则2x²+2x+a≤0在x∈（0，1）上恒成立⇒a≤[-2x²-2x]_min=-4
综上，a的取值范围是：（-∞，-4]∪[0，+∞）（9分）
③（2t-1）²+2（2t-1）+aln（2t-1）≥2t²+4t+2alnt-3恒成立a[ln（2t-1）-2lnt]≥-2t²+4t-2⇒a[ln（2t-1）-lnt²]≥2[（2t-1）-t²]（10分）
当t=1时，不等式显然成立
当t＞1时，⇒a≤(2[(2t−1)−t2])/(ln(2t−1)−lnt2)在t＞1时恒成立（11分）
令u＝(2[(2t−1)−t2])/(ln(2t−1)−lnt2)，即求u的最小值
设A（t²，lnt²），B（2t-1，ln（2t-1）），kAB＝(ln(2t−1)−lnt2)/((2t−1)−t2)，
且A、B两点在y=lnx的图象上，又∵t²＞1，2t-1＞1，故0＜k_AB＜y'|_x=1=1
∴u＝2•(1)/(k)＞2，故a≤2
即实数a的取值范围为（-∞，2]（14分）