正方形ABCD中，点P，Q分别是边AB，AD上的点，连接PQ、PC、QC，下列说法：①若∠PCQ=45°，则PB+QD=PQ；②若AP=AQ=2，∠PCQ=36°，则PC＝5+1；③若△PQC是正三角形，若PB=1，则AP=3+1．其中正确的说法有

Question

正方形ABCD中，点P，Q分别是边AB，AD上的点，连接PQ、PC、QC，下列说法：①若∠PCQ=45°，则PB+QD=PQ；②若AP=AQ=√(2)，∠PCQ=36°，则PC＝√(5)+1；③若△PQC是正三角形，若PB=1，则AP=√(3)+1．其中正确的说法有（　　）

A．3个
B．2个
C．1个
D．0个

Answer 1

（1）证明：延长AB至点E，使BE=DQ，连接EC，AC，
∵正方形ABCD，
∴∠BCA=∠DCA=45°，CD=DA=AB=BC，∠D=∠EBC=90°，
∴在△BEC和△DQC中，

DQ＝BE

∠D＝∠EBC

BC＝CD

，
∴△BEC≌△DQC（SAS），
∴CE=CQ，∠BCE=∠DCQ，
∵∠PCQ=45°，
∴∠DCQ+∠PCB=45°，
∴∠BCE+∠PCB=45°，即∠ECP=45°，
∵在△PCE和△PCQ中，

PC＝PC

∠ECP＝∠QCP

CQ＝CE

，
∴△PCE≌△PCQ（SAS），
∴PE=PQ，
∵PE=PB+BE=PB+QD，
∴PQ=PB+QD，

（2）过点Q作∠PQC的角平分线，交PC于点E，
∵正方形ABCD，
∴∠A=∠D=∠B=90°，AD=AB=BC=CD，
∵∠PCQ=36°，AP=AQ=√(2)，
∴PQ=2，PB=QD，
∴PE=PC-2，
∵在△PBC和△QDC中，

QD＝PB

∠B＝∠D

DC＝BC

，
∴△PBC≌△QDC（SAS），
∴QC=PC，
∴∠CPQ=∠CQP=72°，
∴∠PQE=∠EQC=36°，
∴QE=QP=EC=2，
∵△QPE∽△CQP，
∴PQ：QC=PE：PQ，即PQ²=PE•PC，
∵PQ=2，
∴PE•PC=4，
∵PE=PC-2，
∴PC²-2PC-4=0，
解得：PC₁=1-√(5)＜0（舍去），PC₂=1+√(5)，
∴PC=√(5)+1，

（3）取PC的中点E，连接BE，做BM⊥PC于点M，
∵正方形ABCD，
∴BC=CD=AB=AD，∠D=∠B=∠A=∠BCD=90°，
∵△PCQ为正三角形，
∴QC=PQ=PC，∠QCP=60°，
∵在Rt△PBC和Rt△QDC中，

PC＝CQ

BC＝CD

，
∴Rt△PBC≌Rt△QDC（HL），
∴∠BCP=∠DCQ=(90°−60°)/(2)＝15°，PB=QD，
∵E为PC的中点，
∴BE=EC=PE=(1)/(2)PC，
∴∠BEM=30°，
∴2BM=BE，
∴4BM=PC，
∵PC=√(2)AP，
∴4BM=√(2)AP，
∵BM⊥PC，∠BCP=15°，
∴∠PBM=15°，
∴△PBM∽△PCB，
∴BP：PC=BM：BC，
∵PB=1，
∴BC=AB=AP+1，
∴(1)/(√(2)AP)＝((√(2))/(4)AP)/(AP+1)，
∴(1)/(2)AP²-AP-1=0，
解得：AP₁=1+√(3)，AP₂=1-√(3)＜0（舍去），
∴AP=√(3)+1，
∴其中说法正确的共3个，
故选择A．