（2006•江苏）如图所示，顶角=45°的金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中．一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿导轨MON向右滑动

Question

（2006•江苏）如图所示，顶角=45°的金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中．一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v₀沿导轨MON向右滑动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均匀为r．导体棒与导轨接触点为a和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触．t=0时，导体棒位于顶角O处，求：
（1）t时刻流过导体棒的电流强度I和电流方向．
（2）导体棒作匀速直线运动时水平外力F的表达式．
（3）导体棒在0～t时间内产生的焦耳热Q．
（4）若在t₀时刻将外力F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x．

Answer 1

（1）0到t时间内，导体棒的位移x=v₀t
t时刻，导体棒长度l=x
导体棒的电动势 E=Blv₀
回路总电阻 R=（2x+√(2)x）r
电流强度   I=(E)/(R)＝(Bv0)/((2+√(2))r)
电流方向为b到a．
（2）匀速直线运动时，安培力等于拉力．
F=BlI=(B2v20t)/((2+√(2))r)
（3）t时刻导体棒的电功率  P=I²R′
由于I恒定，R′=v₀rt正比于t
因此

.

P

=I²

.

R

=(1)/(2)I² R′
Q=

.

P

t=(B2v03t2)/(2(2+√(2))2r)
（4）撤去外力后，设任意时刻t导体棒的坐标为x，速度为v，取很短时间△t或很短距离△x

在t～t+△t时间内，由动量定理得
BlI△t=m△v∑(B2)/((2+√(2))r)（lv△t）=∑m△v＝(B2)/((2+√(2))r)△S=mv₀
扫过面积△S=((x0+x)(x−x0))/(2)=(x2−x20)/(2)（x₀=v₀t₀）得
x=√((2(2+√(2))mv0r)/(B2)+(v0t0)2)
或设滑行距离为d
则△S=(v0t0+(v0t0+d))/(2)d
即d²+2v₀t₀d-2△S=0
解之 d=-v₀t₀+√(2△S+(v0t0)2)
得x=v₀t₀+d=√(2△S+(v0t0)2)=√((2(2+√(2))mv0r)/(B2)+(v0t0)2)
答：（1）t时刻流过导体棒的电流强度I为(Bv0)/((2+√(2))r)，电流方向为b到a．
（2）导体棒作匀速直线运动时水平外力F的表达式为F=(B2v20t)/((2+√(2))r)．
（3）导体棒在0～t时间内产生的焦耳热Q=(B2v03t2)/(2(2+√(2))2r)．
（4）导体棒最终在导轨上静止时的坐标x=√((2(2+√(2))mv0r)/(B2)+(v0t0)2)．