如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(2,-1)的抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与y轴交与点C（0,3）,如图,顶点座标为(2.－1)的抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与y轴交与点C（0,3）,与X轴交于A、B两点.（1）求抛物

Question

如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(2,-1)的抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与y轴交与点C（0,3）,
如图,顶点座标为(2.－1)的抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与y轴交与点C（0,3）,与X轴交于A、B两点.
（1）求抛物线的表达式.
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD求△ACD的面积.
（3）点E为直线BC上一动点,过点E做Y轴的平行线EF,与抛物线交于点F,问是否存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似?若存在,求点E的坐标；若不存在,请说明理由.

Answer 1

分析：（1）已知抛物线的顶点,可先将抛物线的解析式设为顶点式,再将点C的坐标代入上面的解析式中,即可确定待定系数的值,由此得解．
（2）可先求出A、C、D三点坐标,求出△ACD的三边长后,可判断出该三角形的形状,进而得到该三角形的面积．（也可将△ACD的面积视为梯形与两个小直角三角形的面积差）
（3）由于直线EF与y轴平行,那么∠OCB=∠FED,若△OBC和△EFD相似,则△EFD中,∠EDF和∠EFD中必有一角是直角,可据此求出点F的横坐标,再代入直线BC的解析式中,即可求出点E的坐标．

点评：此题主要考查了函数解析式的确定、图形面积的解法以及相似三角形的判定和性质等知识；需要注意的是,已知两个三角形相似时,若对应边不相同,那么得到的结果就不一定相同,所以一定要进行分类讨论．