如图，椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为24

Question

如图，椭圆C ₁ ： (x2)/(a2) +(y2)/(b2) =1 （a＞b＞0）和圆C ₂ ：x ² +y ² =b ² ，已知圆C ₂ 将椭圆C ₁ 的长轴三等分，椭圆C ₁ 右焦点到右准线的距离为 (2)/(4) ，椭圆C ₁ 的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C ₂ 相交于点A、B．
（1）求椭圆C ₁ 的方程；
（2）若直线EA、EB分别与椭圆C ₁ 相交于另一个交点为点P、M．
①求证：直线MP经过一定点；
②试问：是否存在以（m，0）为圆心， (32)/(5) 为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由圆C ₂ 将椭圆C ₁ 的长轴三等分，∴ 2b=(1)/(3) •2a ，则a=3b．
∴ c=

a 2 - b 2

=2

2

b ，
又椭圆C ₁ 右焦点到右准线的距离为 (2)/(4) ，
∴ (a2)/(c) -c=(b2)/(c) =(2)/(4) ，∴b=1，则a=3，
∴椭圆方程为 (x2)/(9) + y 2 =1 ．
（2）①由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx-1，
由

y=kx-1

(x2)/(9) + y 2 =1

得

x=(18k)/(9 k2 +1)

y=(9 k2 -1)/(9 k2 +1)

或

x=0

y=-1

∴ P((18k)/(9 k2 +1) ，(9 k2 -1)/(9 k2 +1) ) ，
用 -(1)/(k) 去代k，得 M((-18k)/(k2 +9) ，(9- k2)/(k2 +9) ) ，
k PM =((9 k2 -1)/(9 k2 +1)-(9- k2)/(k2 +9))/((18k)/(9 k2 +1)+(18k)/(k2 +9)) =(k2 -1)/(10k) ，
∴PM： y-(9- k2)/(k2 +9) =(k2 -1)/(10k) (x+(18k)/(k2 +9) ) ，即 y=(k2 -1)/(10k) x+(4)/(5) ，
∴直线PM经过定点 T(0，(4)/(5) ) ．
②由

y=kx-1

x 2 + y 2 =1

得

x=(2k)/(1+ k2)

y=(k2 -1)/(k2 +1)

或

x=0

y=-1

∴ A((2k)/(1+ k2) ，(k2 -1)/(k2 +1) ) ，
则直线AB： y=(k2 -1)/(2k) x ，
设 t=(k2 -1)/(10k) ，则t∈R，直线PM： y=tx+(4)/(5) ，直线AB：y=5tx，
假设存在圆心为（m，0），半径为 (32)/(5) 的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，
则（i） (|5tm|)/(1+25 t2) ＜(32)/(5) ，（ii） (|tm+(4)/(5)|)/(1+ t2) ＜(32)/(5) ．
由（i）得 25 t 2 ( m 2 -(18)/(25) )＜(18)/(25) 对t∈R恒成立，则 m 2 ≤(18)/(25) ，
由（ii）得， ( m 2 -(18)/(25) ) t 2 +(8)/(5) mt-(2)/(25) ＜0 对t∈R恒成立，
当 m 2 =(18)/(25) 时，不合题意；当 m 2 ＜(18)/(25) 时， △=((8)/(5) m ) 2 -4( m 2 -(18)/(25) )(-(2)/(25) )＜0 ，得 m 2 ＜(2)/(25) ，即 -(2)/(5) ＜m＜(2)/(5) ，
∴存在圆心为（m，0），半径为 (32)/(5) 的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，所有m的取值集合为 (-(2)/(5) ，(2)/(5) ) ．