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(2014•益阳)如图,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=a(x-2)2+k经过点A、B,并与X轴交于另一点C,其顶点为P.(1)求a,k的值;(2)抛物线的对称轴上有一点Q,使△ABQ是以AB
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(2014•益阳)如图,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=a(x-2)2+k经过点A、B,并与X轴交于另一点C,其顶点为P.
(1)求a,k的值;
(2)抛物线的对称轴上有一点Q,使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形,求Q点的坐标;
(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M、N,使以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形,求此正方形的边长.
(1)求a,k的值;
(2)抛物线的对称轴上有一点Q,使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形,求Q点的坐标;
(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M、N,使以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形,求此正方形的边长.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,
∴A(1,0),B(0,3).
又∵抛物线抛物线y=a(x-2)2+k经过点A(1,0),B(0,3),
∴
,解得
,
故a,k的值分别为1,-1;
(2)设Q点的坐标为(2,m),对称轴x=2交x轴于点F,过点B作BE垂直于直线x=2于点E.
在Rt△AQF中,AQ2=AF2+QF2=1+m2,
在Rt△BQE中,BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,
∵AQ=BQ,
∴1+m2=4+(3-m)2,
∴m=2,
∴Q点的坐标为(2,2);
(3)当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,所以AC应为正方形的对角线.
又∵对称轴x=2是AC的中垂线,
∴M点与顶点P(2,-1)重合,N点为点P关于x轴的对称点,其坐标为(2,1).
此时,MF=NF=AF=CF=1,且AC⊥MN,
∴四边形AMCN为正方形.
在Rt△AFN中,AN=
=
,即正方形的边长为
.
∴A(1,0),B(0,3).
又∵抛物线抛物线y=a(x-2)2+k经过点A(1,0),B(0,3),
∴
|
|
故a,k的值分别为1,-1;
(2)设Q点的坐标为(2,m),对称轴x=2交x轴于点F,过点B作BE垂直于直线x=2于点E.
在Rt△AQF中,AQ2=AF2+QF2=1+m2,
在Rt△BQE中,BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,
∵AQ=BQ,
∴1+m2=4+(3-m)2,
∴m=2,
∴Q点的坐标为(2,2);
(3)当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,所以AC应为正方形的对角线.
又∵对称轴x=2是AC的中垂线,
∴M点与顶点P(2,-1)重合,N点为点P关于x轴的对称点,其坐标为(2,1).
此时,MF=NF=AF=CF=1,且AC⊥MN,
∴四边形AMCN为正方形.
在Rt△AFN中,AN=
AF2+NF2 |
2 |
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