设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）A．y2=4x或y2=8xB．y2=2x或y2=8xC．y2=4x或y2=16xD．y2=2x或y2=16x

Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　）

A．y²=4x或y²=8x
B．y²=2x或y²=8x
C．y²=4x或y²=16x
D．y²=2x或y²=16x

Answer 1

∵抛物线C方程为y²=2px（p＞0），
∴焦点F坐标为（(p)/(2)，0），可得|OF|=(p)/(2)，
∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得AF⊥AM，
∴Rt△AOF中，|AF|=√(((p)/(2))2+4)=(√(p2+16))/(2)，
则sin∠OAF=(OF)/(AF)=((p)/(2))/((√(p2+16))/(2))=(p)/(√(p2+16))，
根据抛物线的定义，可得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
∴∠OAF=∠AMF，
∴Rt△AMF中，sin∠AMF=(AF)/(MF)=(p)/(√(p2+16))，
∵|MF|=5，|AF|=(√(p2+16))/(2)，
∴((√(p2+16))/(2))/(5)=(p)/(√(p2+16))，整理得p²+16=10p，
解得：p=2或p=8，
∴抛物线C的方程为y²=4x或y²=16x．
故选：C．