设f(x),g(x)为连续可微函数,且w=yf(xy)dx+xg(xy)dy(1)若存在u使得du=w,求f(x)-g(x)(2)若f(x)=φ‘(x),求u使得du=w

Question

设f(x),g(x)为连续可微函数,且w=yf(xy)dx+xg(xy)dy
(1)若存在u使得du=w,求f(x)-g(x)
(2)若f(x)=φ‘(x),求u使得du=w

Answer 1

（1）由du=w可知du/dx=yf(xy)；du/dy=xg(xy)
所以d^2u/dxdy=f(xy)+xyf‘(xy)=d^2u/dydx=g(xy)+xyg‘(xy),将xy统一写成x,就有
f(x)-g(x)+x(f(x)-g(x))‘=0,若令G(x)=f(x)-g(x),就有G(x)-xG‘(x)=0,
由此解得G(x)=C/x,也即f(x)-g(x)=C/x.
（2）由du=w可知du/dx=yf(xy)=yφ‘(xy)=dφ(xy)/dx,所以u(x,y)=φ(xy)+a(y),
又根据（1）有g(xy)=f(xy)+C/xy=φ‘(xy)+C/xy,
所以根据dy部分可知du/dy=d[φ(xy)+a(y)]/dy=xφ‘(xy)+a‘(y)=xg(xy)=xφ‘(xy)+C/y,
对比可知a‘(y)=C/y,所以a(y)=Cln|y|+D,所以u(x,y)=φ(xy)+Cln|y|+D.