如图，抛物线y=ax2+3x+c经过A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线

Question

如图，抛物线y=ax²+3x+c经过A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；
（3）在（2）的条件下，抛物线上点D（不与C重合）的纵坐标为m的最大值，在x轴上找一点E，使点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出E点坐标．

Answer 1

解（1）∵抛物线y=ax²+3x+c经过A（-1，0），B（4，0）两点，
∴

a-3+c=0

16a+12+c=0

．
解得：a=-1，c=4．
∴抛物线的解析式为y=-x²+3x+4．
（2）∵将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，
∴C（0，4）．
设直线BC的解析式为y=kx+b．
∵将B（4，0），C（0，4）代入得：

b=4

4k+b=0

，解得：k=-1，b=4
∴直线BC的解析式为：y=-x+4．
过点P作x的垂线PQ，如图所示：

∵点P的横坐标为t，
∴P（t，-t²+3t+4），Q（t，-t+4）．
∴PQ=-t²+3t+4-（-t+4）=-t²+4t．
∴m=-t²+4t=-（t-2）²+4（0<t<4）．
∴当t=2时，m的最大值为4．
（3）将y=4代入抛物线的解析式得：-x²+3x+4=4．
解得：x₁=0，x₂=3．
∵点D与点C不重合，
∴点D的坐标为（3，4）．
又∵C（0，4）
∴CD∥x轴，CD=3．
∴当BE=CD=3时，B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形．
∴点E（1，0）或（7，0）．