已知顶点为A（2，-1）的抛物线经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；（3）点P在x轴正半轴上，如果∠A

Question

已知顶点为A（2，-1）的抛物线经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）；

（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；
（3）点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标．

Answer 1

（1）∵顶点为A（2，-1）的抛物线经过点B（0，3），
∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-1，
把（0，3）代入可得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3．

（2）令y=0，x²-4x+3=0，解得x=1或3，
∴C（1，0），D（3，0），
∵OB=OD=3，
∴∠BDO=45°，
∵A（2，-1），D（3，0），
∴∠ADO=45°，
∴∠BDA=90°，
∵BD=3√(2)，AD=√(2)，
∴S_△ABD=(1)/(2)•BD•AD=3．

（3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，
∴∠DBP=∠APD，
∵∠PDB=∠ADP=135°，
∴△PDB∽△ADP，
∴PD²=BD•AD=3√(2)•√(2)=6，
∴PD=√(6)，
∴OP=3+√(6)，
∴点P（3+√(6)，0）．