如图．在△ABC中，∠ABC=90°，点D、E分别在AB、BC的延长线上，且AD=BC，延长DC交AE于F，∠AFD=45°．求证：BD=CE．

Question

如图．在△ABC中，∠ABC=90°，点D、E分别在AB、BC的延长线上，且AD=BC，延长DC交AE于F，∠AFD=45°．求证：BD=CE．

Answer 1

证明：如图过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DF、CF，

∵∠ABC=90°，AF⊥AB，
∴∠FAD=∠DBC=90°
在△ADF和△BCD中，

AD=BC

∠FAD=∠DBC=90°

AF=BD

∴△ADF≌△BCD，
∴DF=DC，∠ADF=∠BCD，
∵∠BCD+∠BDC=90°，
∴∠ADF+∠BDC=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠FCD=∠DFC=45°=∠APD，
∴FC∥AE，∵AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE=BD，
∴BD=CE．