已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn=4an-4n+1-4（n∈N*），令bn＝an4n．（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若f（n）=an-2（n∈N*），用数学归纳法证明f（n）是18的倍数

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且3S_n=4a_n-4ⁿ⁺¹-4（n∈N^*），令bn＝(an)/(4n)．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（n）=a_n-2（n∈N^*），用数学归纳法证明f（n）是18的倍数．

Answer 1

（Ⅰ）当n=1时，3S1＝4a1−42−4，∴a₁=20
当n≥2时，3Sn−1＝4an−1−4n−4
∴3Sn−3Sn−1＝4an −4an−1−3×4n
即an＝ 4an−1+3×4n
b_n-b_n-1=(an)/(4n)-(an−1)/(4n−1)=3
所以数列{b_n}是以3为公差的等差数列，首项b₁=(a1)/(4)＝5
数列{b_n}的通项公式为b_n=5+（n-1）×3=3n+2．
得出a_n=（3n+2）•4ⁿ
（Ⅱ）f（n）=（3n+2）•4ⁿ-2
①当n=1时，f（1）=18，显然能被18整除；
②假设当n=k（k≥1）时，f（k）=（3k+2）•4^k-2能被18整除，
则当n=k+1时，f（k+1）=（3k+3+2）•4^k+1-2=4×（3k+2）•4^k-2+3×4^k+1
=（3k+2）•4^k-2+12×4^k+3×（3k+2）•4^k
=（3k+2）•4^k-2+（9k+18）•4^k
=f（k）+9（k+2）•4^k
∵k≥1，∴9（k+2）•4^k能被18整除．
又f（k）能被18整除，∴f（k+1）能被18整除．
即 当n=k+1时 结论成立．
由①②知，当n∈N^*时，f（n）是18的倍数．