设数列an的前n项和为sn,已知2an-2^n=sn1.证明{an-n2^n-1}是等比数列.求an的通项公式

Question

设数列an的前n项和为sn,已知2an-2^n=sn 1.证明{an-n2^n-1}是等比数列
.求an的通项公式

Answer 1

因为2an-2^n=Sn
所以2a(n-1)-2^(n-1)=S(n-1)
上两式相减得
2an-2a(n-1)-2^(n-1)=Sn-S(n-1)
当n≥2时,有an=Sn-S(n-1)
于是有2an-2a(n-1)-2^(n-1)=an
即an=2a(n-1)+2^(n-1) .(1)
设an-λn2^n=2[a(n-1)-λ(n-1)2^(n-1)]
即an=2a(n-1)+λ2^n.(1)
比较（1）、（2）得λ2^n=2^(n-1) 即λ=1/2
于是（2）式化为an-n2^(n-1)=2[a(n-1)-(n-1)2^(n-2)]
所以数列{an-n2^(n-1)}是以2为公比的等比数列
2、
由S1=a1及2an-2^n=Sn得2a1-2=a1解得a1=2
于是数列{an-n2^(n-1)}是以2为公比,首项为a1-1=1的等比数列
所以an-n2^(n-1)=2^(n-1)
即an=(n+1)2^(n-1)
当n=1时,也适合an=(n+1)2^(n-1)
所以an的通项公式是an=(n+1)2^(n-1)