已知（x23+3x2）n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项．

Question

已知（x (2)/(3)+3x²）ⁿ的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中系数最大的项．

Answer 1

（1）由题意可得 4ⁿ-2ⁿ=992，求得 2ⁿ=32，∴n=5．
故展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项，
即 T₃=

C

2 5

•9•x⁶=90x⁶，或 T₄=

C

3 5

•27•x(22)/(3)=270x(22)/(3)．
（2）由于（x (2)/(3)+3x²）⁵的展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 5

•3^r•x(10+4r)/(3)，
故第r+1项的系数为3^r•

C

r 5

，r=0，1，2，3，4，5，
故当r=4时，该项的系数最大，即第5项的系数最大，该项为 T₅=

C

4 5

•81•x(26)/(3)=405x(26)/(3)．