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已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-43处取得极值.(1)确定a的值;(2)讨论函数g(x)=f(x)•ex的单调性.
题目详情
已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-
处取得极值.
(1)确定a的值;
(2)讨论函数g(x)=f(x)•ex的单调性.
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(1)确定a的值;
(2)讨论函数g(x)=f(x)•ex的单调性.
▼优质解答
答案和解析
(1)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x.
∵f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-
处取得极值,
∴f′(-
)=0,
∴3a•
+2•(-
)=0,
∴a=
;
(2)由(1)得g(x)=(
x3+x2)ex,
∴g′(x)=(
x2+2x)ex+(
x3+x2)ex=
x(x+1)(x+4)ex,
令g′(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4,
当x<-4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;
当-4<x<-1时,g′(x)>0,故g(x)为增函数;
当-1<x<0时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;
当x>0时,g′(x)>0,故g(x)为增函数;
综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)为增函数.
∵f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-
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∴f′(-
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∴3a•
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∴a=
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(2)由(1)得g(x)=(
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∴g′(x)=(
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令g′(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4,
当x<-4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;
当-4<x<-1时,g′(x)>0,故g(x)为增函数;
当-1<x<0时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;
当x>0时,g′(x)>0,故g(x)为增函数;
综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)为增函数.
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