已知对于任意ab属于R,有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),且f(0)≠0.（1）求证f（x）为偶函数（2）若存在正数m使f（m）=0,求f（x+T）=f（x）的一个T值（T≠0）

Question

已知对于任意ab属于R,有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),且f(0)≠0.
（1）求证f（x）为偶函数 （2）若存在正数m使f（m）=0,求f（x+T）=f（x）的一个T值（T≠0）

Answer 1

1)证明：因f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) 令a=b=0得2f(0)=2[f(0)]^2,所以f(0)[(f(0)-1]=0 但f(0)≠0,所以f(0)=1 令a=0得f(b)+f(-b)=2f(0)f(b)=2f(b),所以f(-b)=f(b),f为偶函数 (2)因为有正数m使得f(m)=0,所以f(a+m)+f(a-m)=2f(a)f(m)=0 f(a+m)=-f(a-m) 令a-m=x,则a=m+x,所以a+m=x+2m,故f(x+2m)=-f(x) 因此f(x+4m)=-f(x+2m)=f(x) 所以T=4m