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已知对于任意ab属于R,有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),且f(0)≠0.(1)求证f(x)为偶函数(2)若存在正数m使f(m)=0,求f(x+T)=f(x)的一个T值(T≠0)
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已知对于任意ab属于R,有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),且f(0)≠0.
(1)求证f(x)为偶函数 (2)若存在正数m使f(m)=0,求f(x+T)=f(x)的一个T值(T≠0)
(1)求证f(x)为偶函数 (2)若存在正数m使f(m)=0,求f(x+T)=f(x)的一个T值(T≠0)
▼优质解答
答案和解析
1)证明:因f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) 令a=b=0得2f(0)=2[f(0)]^2,所以f(0)[(f(0)-1]=0 但f(0)≠0,所以f(0)=1 令a=0得f(b)+f(-b)=2f(0)f(b)=2f(b),所以f(-b)=f(b),f为偶函数 (2)因为有正数m使得f(m)=0,所以f(a+m)+f(a-m)=2f(a)f(m)=0 f(a+m)=-f(a-m) 令a-m=x,则a=m+x,所以a+m=x+2m,故f(x+2m)=-f(x) 因此f(x+4m)=-f(x+2m)=f(x) 所以T=4m
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