设函数f（x）=lnx+mx，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）-x3零点的个数；（Ⅲ）若对任意b>a>0，f(b)-f(a)b-a<1恒成立，求m的取

Question

设函数f（x）=lnx+(m)/(x)，m∈R．
（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；
（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）-(x)/(3)零点的个数；
（Ⅲ）若对任意b>a>0，(f(b)-f(a))/(b-a)<1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+ex，∴f′（x）=x-ex2；∴当x∈（0，e）时，f′（x）<0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）>0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小...