已知函数f（x）=ex-1+a，函数g（x）═ax+lnx，α∈R．（1）求函数y=g（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≥g（x）+1在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x∈（1，+∞），求证：不

Question

已知函数f（x）=e^x-1+a，函数g（x）═ax+lnx，α∈R．
（1）求函数y=g（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x）≥g（x）+1在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若x∈（1，+∞），求证：不等式：e^x-1-2lnx>-x+1．

Answer 1

（1）函数g（x）的定义域为（0，+∞），
g（x）═ax+lnx的导数为g′（x）=a+(1)/(x)．
若a=0，g（x）=lnx，此时函数单调递增，递增区间为（0，+∞）；
若a>0，则g′（x）=a+(1)/(x)>0，此时函数单调递增，递增区间为（0，+∞）；
若a<0，由g′（x）=a+(1)/(x)<0得(1)/(x)<-a，则x>-(1)/(a)，此时函数单调递减，
递减区间为（-(1)/(a)，+∞），
由g′（x）=a+(1)/(x)>0得(1)/(x)>-a，则0<x<-(1)/(a)，此时函数单调递增，递增区间为（0，-(1)/(a)），
综上若a≥0，则函数g（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
若a<0，则函数g（x）的单调递增区间为（0，-(1)/(a)），单调递减区间为（-(1)/(a)，+∞）．
（2）若不等式f（x）≥g（x）+1在[1，+∞）上恒成立，
即为e^x-1+a≥ax+lnx+1在[1，+∞）上恒成立，
当x=1时，即为1+a≥1+a成立；
当x>1时，原不等式即为a≤(ex-1-lnx-1)/(x-1)恒成立，
由x>1，可得x-1>0．
又令h（x）=e^x-1-lnx-1，可得h（1）=1-0-1=0，
且h′（x）=e^x-1-(1)/(x)，由x>1可得e^x-1>1，(1)/(x)∈（0，1），
可得h′（x）>0，h（x）在（1，+∞）递增，即h（x）>0，
故(ex-1-lnx-1)/(x-1)>0，
则a的取值范围是（-∞，0]；
（3）证明：若x∈（1，+∞），可令m（x）=e^x-1-2lnx+x-1，
m′（x）=e^x-1-(2)/(x)+1，
由y=e^x-1在（1，+∞）递增，y=-(2)/(x)+1在（1，+∞）递增，
即有m′（x）在（1，+∞）递增，
可得m′（x）>m′（1）=0，
则m（x）在（1，+∞）递增，
即有m（x）>m（1）=1-0+1-1=1>0，
则不等式e^x-1-2lnx>-x+1在（1，+∞）成立．