已知函数f（x）=x+1/x,（1）判断函数f（x）的奇偶性（2）判断f（x）在区间（0,1）和（1,正无穷）上的单调性,并用定义证明

Question

已知函数f（x）=x+1/x,（1）判断函数f（x）的奇偶性
（2）判断f（x）在区间（0,1）和（1,正无穷）上的单调性,并用定义证明

Answer 1

(1)f(x)的定义域为x≠0
∵f(﹣x)＝﹣x＋1/(﹣x)＝﹣(x＋1/x)＝﹣f(x) ∴f(x)是奇函数
(2)f(x)在区间（0,1）上单调递减；在区间（1,﹢∞）上的单调递增
证明：
(1)设0＜x1＜x2＜1
∵f(x1)－f(x2)＝x1＋1/x1－x2－1/x2＝(x1－x2)＋(x2－x1)/(x1x2)＝(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)
∵0＜x1＜x2＜1 ∴x1－x2＜0 0＜x1x2＜1 x1x2－1＜0
∴(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)＞0 ∴f(x1)－f(x2)＞0 ∴f(x1)＞f(x2)
∴f(x)在区间（0,1）上单调递减
(2)设x2＞x1＞1
∵f(x1)－f(x2)＝x1＋1/x1－x2－1/x2＝(x1－x2)＋(x2－x1)/(x1x2)＝(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)
∵x2＞x1＞1 ∴x1－x2＜0 x1x2＞1 x1x2－1＞0
∴(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)＜0 ∴f(x1)－f(x2)＜0 ∴f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在区间（1,﹢∞）上的单调递增