已知函数f（x）=x|x-a|+bx（Ⅰ）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当b=-2，且对任意a∈（-2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围

Question

已知函数f（x）=x|x-a|+bx
（Ⅰ）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）当b=-2，且对任意a∈（-2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f(x)＝x|x−2|+bx＝

x2+(b−2)x，x≥2

−x2+(b+2)x，x≤2

，
因为f（x）连续，
所以f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，
所以

(2−b)/(2)≤2

(2+b)/(2)≥2

，
解得，b≥2；
（Ⅱ）f(x)＝x|x−a|−2x＝

x2−(a+2)x，x≥a

−x2+(a−2)x，x≤a

，tf（a）=-2ta，
当2≤a≤4时，(a−2)/(2)＜(a+2)/(2)≤a，
f（x）在（-∞，(a−2)/(2)）上递增，在（(a−2)/(2)，a）上递减，在（a，+∞）上递增，
所以f_极大（x）=f（(a−2)/(2)）=(a2)/(4)-a+1，
f_极小（x）=f（a）=-2a，
所以

−2a＜−2ta

(a2)/(4)−a+1＞−2ta

对2≤a≤4恒成立，
解得：0＜t＜1，
当-2＜a＜2时，(a−2)/(2)＜a＜(a+2)/(2)，
f（x）在（-∞，(a−2)/(2)）上递增，在（(a−2)/(2)，(a+2)/(2)）上递减，在（(a+2)/(2)，+∞）上递增，
所以f_极大（x）=f（(a−2)/(2)）=(a2)/(4)-a+1，
f_极小（x）=f（(a+2)/(2)）=-(a2)/(4)-a-1，
所以-(a2)/(4)-a-1＜-2ta＜(a2)/(4)-a+1对-2＜a＜2恒成立，
解得：0≤t≤1，
综上所述，0＜t＜1．