等差数列公式大全a1与an的关系?

Question

等差数列公式大全
a1与an的关系?

Answer 1

一、 等差数列
　　如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示.
　　等差数列的通项公式为：an=a1n+(n-1)d (1)
　　前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)
　　以上n均属于正整数.
　　从(1)式可以看出,an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.
　　在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项,且为数列的平均数.
　　且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d
　　它可以看作等差数列广义的通项公式.
　　从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
　　若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.
　　和＝（首项＋末项）×项数÷2
　　项数＝（末项-首项）÷公差＋1
　　首项=2和÷项数-末项
　　末项=2和÷项数-首项
　　末项=首项+（项数-1）×公差
　　等差数列的应用：
　　日常生活中,人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
　　时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按等差数列进行分级.
　　若为等差数列,且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0.
　　3．等差数列的基本性质
　　⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d．
　　⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd．
　　⑶若、为等差数列,则{ a ±b }与{ka ＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．
　　⑷对任何m、n ,在等差数列中有：a = a + (n－m)d,特别地,当m = 1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
　　⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等）,那么当为等差数列时,有：a + a + a + … = a + a + a + … ．
　　⑹公差为d的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd( k为取出项数之差)．
　　⑺如果是等差数列,公差为d,那么,a ,a ,…,a 、a 也是等差数列,其公差为－d；在等差数列中,a －a = a －a = md ．(其中m、k、 )
　　⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
　　⑼当公差d＞0时,等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时,等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时,等差数列中的数等于一个常数．
　　⑽设a 1,a 2,a 3为等差数列中的三项,且a1 与a2 ,a 2与a 3的项距差之比 = d（ d≠－1）,则2a2 = a1+a3．