一个无穷等比数列{an}的各项和等于3,第二项为-4/3,则此数列所有奇数项的和

Question

一个无穷等比数列{an}的各项和等于3,第二项为-4/3,则此数列所有奇数项的和

Answer 1

无穷等比数列收敛的条件为-1因为a2≠0所以q≠0
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)
当n趋于无穷大时,q^n趋于0
所以数列｛an｝各项和S=a1/(1-q)=3
a2=a1*q=-4/3,a1=-4/(3q)
代入得-4/(3q)=3(1-q)
9q²-9q-4=0
(3q+1)(3q-4)=0
所以q=-1/3或q=4/3
因为-1得q=-1/3
a1=-4/(3q)=4
设此数列的奇数项组成新的无穷等比数列｛bn｝
则有bn=a(2n-1)
b(n+1)/bn
=a(2n+1)/a(2n-1)
=q²=1/9
数列｛bn｝的前n项和Tn
=b1*(1-(q²)^n)/(1-q^2)
=a1*(1-9^(-n))/(1-1/9)
=9/2*(1-9^(-n))
当n趋于无穷大时,9^(-n)趋于0
所以数列｛bn｝各项和T=9/2
即数列｛an｝的所有奇数项的和为9/2