(2007•静安区一模)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D是边BC延长线上一点,E是边AC上一点,如果∠EBC=∠D,BC=4,cos∠ABC=13.(1)求证:CEAB=BCBD;(2)如果S1、S2分别表示△BCE、△ABD的面积
(2007•静安区一模)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D是边BC延长线上一点,E是边AC上一点,如果∠EBC=
∠D,BC=4,cos∠ABC=.
(1)求证:=;
(2)如果S1、S2分别表示△BCE、△ABD的面积,求:S1•S2的值;
(3)当∠AEB=∠ACD时,求△ACD的面积.
答案和解析
(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.(1分)
∵∠EBC=∠D,
∴△BCE∽△DBA.(2分)
∴
=.(1分)
(2)作AH⊥BC于点H,
∵AB=AC,BC=4,
∴BH=2.
∵cos∠ABC=,
∴=.
∴AB=AC=6.(1分)
在Rt△ABH中,
AH===4.(1分)
过E作EG⊥BC,交BC于G,
∵△BCE∽△DBA,
∴=.(1分)
∴EG•BD=AH•BC=4×4=16.(1分)
∴S1•S2=BC•EG•BD•AH=(AH•BC)2
=×(16
- 问题解析
- (1)由AB=AC,根据“等边对等角”得到一对角相等,由已知的两角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似,得到三角形BCE与三角形DBA相似,由相似得比例得证;
(2)过A作AH垂直于BC,由AB=AC,根据“三线合一”得到BH等于BC的一半,由BC的长求出BH的长,在根据锐角三角形函数的余弦函数定义,由BH的长和cos∠ABC的值求出AB的长,在直角三角形中,由AB和BH,利用勾股定理求出AH的长,再由第一问的相似得到对应高之比等于相似比,即等于对应边之比,化比例式为乘积式,把求出的AH和BC代入即可求出AH•BC的值,然后利用三角形的面积公式分别表示出S1与S2,进而表示出S1•S2,等量代换后把求出AH•BC的值代入即可求出值; (3)由∠AEB=∠ACD,根据等角的邻补角相等得到∠BEC=∠ACB,又AB=AC,根据“等边对等角”得到∠ABC=∠ACB,等量代换得到∠BEC=∠ACB=∠ABC,根据三角形的内角和定理,等量代换得到∠BAC=∠EBC,又∠AEB=∠ACD,等量代换得到∠BAC=∠D,再根据已知的两角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ABC与三角形DBA相似,根据相似得比例,由AB和BC的长求出BD的长,进而求出CD的长,然后由CD边上的高AH,利用三角形的面积公式求出三角形ACD的面积.
- 名师点评
-
- 本题考点:
- 相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;勾股定理;解直角三角形.
-
- 考点点评:
- 此题考查了相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理以及解三角形的知识.本题主要利用转化的数学思想,借助图形的性质、公式或已知条件,将问题通过转化,进而达到解决问题的目的,转化的数学思想就是要我们深刻理解并灵活运用新旧知识的联系.第2、3问要求三角形的面积,分别过A和E作出BC边上的高是解题的突破点,熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键.

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