如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；（2）若cos∠ABC=23，AB=12，求半圆O所在圆的半径．

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．

（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；
（2）若cos∠ABC=(2)/(3)，AB=12，求半圆O所在圆的半径．

Answer 1

（1）证明：如图1
，
作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，
∵AB=AC，O为BC的中点，
∴∠CAO=∠BAO．
∵OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，
∴OD=OE，
∵AB经过圆O半径的外端，
∴AB是半圆O所在圆的切线；
（2）cos∠ABC=(2)/(3)，AB=12，得
OB=8．
由勾股定理，得
AO=√(AB2-OB2)=4√(5)．
由三角形的面积，得
S_△AOB=(1)/(2)AB•OE=(1)/(2)OB•AO，
OE=(OB•AO)/(AB)=(8√(5))/(3)，
半圆O所在圆的半径是(8√(5))/(3)．