一道大学线代问题已知向量a、b、c以及常数K、L、M满足阵Ka+Lb+Mc=0,KM≠0,则有?A.a、b与b、c等价B.a、b与a、c等价C.a、c与b、c等价D.a与c等价答案为什么是A?

Question

一道大学线代问题
已知向量a、b、c以及常数K、L、M满足阵Ka+Lb+Mc=0,KM≠0,则有?
A.a、b与b、c等价
B.a、b与a、c等价
C.a、c与b、c等价
D.a与c等价
答案为什么是A?

Answer 1

由K ≠ 0,有a = -(L/K)b-(M/K)c,因此a,b可被b,c线性表出;
反过来由M ≠ 0,有c = -(K/M)a-(-L/M)b,因此也b,c可被a,b线性表出.
所以a,b与b,c等价,A正确.
B选项错误是因为a,c不一定能线性表出b (例如a,c都是零向量,而b非零).
C选项错误理由同上.
D选项也不难构造反例,如a = (1,0),b = (1,1),c = (0,1).