已知△ABC中，分别以AB，AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE，使AB=AD，AC=AE，且∠BAD=∠EAC，BE，CD交于点P．（1）如图1，求证：CD=BE；（2）如图2，∠BAD=60°，设AB，PD交于点F，若∠PAF=30°，PF=1，求D

Question

已知△ABC中，分别以AB，AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE，使AB=AD，AC=AE，且∠BAD=∠EAC，BE，CD交于点P．
（1）如图1，求证：CD=BE；
（2）如图2，∠BAD=60°，设AB，PD交于点F，若∠PAF=30°，PF=1，求DF的长．

Answer 1

（1）∵∠BAD=∠EAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ACD和△AEB中，
∵

AD=AB

∠DAC=∠BAE

AC=AE

，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE；

（2）在PD上截取PM=PA，连接AM，如图所示：

由（1）得：△ACD≌△AEB，
∴∠ADC=∠ABE，
∴A、D、B、P四点共圆，
∴∠APD=∠ABD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠APD=60°，
∵∠PAF=30°，
∴∠AFP=∠AFD=90°，
在Rt△APF中，AF=APtan∠APF=√(3)，
在Rt△ADF中，DF=AFtan∠DAF=√(3)×√(3)=3．