如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，（1）求证：△ACE∽△CBE；（2）若AB=8，设OE=x（0＜x＜4），CE2=y，请求出y关于x的函数解析式；（3）探究：当x为何值时，tan∠D=33．

Question

如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，

（1）求证：△ACE∽△CBE；
（2）若AB=8，设OE=x（0＜x＜4），CE²=y，请求出y关于x的函数解析式；
（3）探究：当x为何值时，tan∠D=(√(3))/(3)．

Answer 1

（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCE=90°．
又CD⊥AB，∴∠A+∠ACE=90°，
∴∠A=∠ECB，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE；
（2）∵△ACE∽△CBE，
∴(AE)/(CE)＝(CE)/(EB)，
即CE²=AE•BE=（AO+OE）（OB-OE），
∴y=（4+x）（4-x）=16-x²；
（3）∵tan∠D=(√(3))/(3)，即tan∠A=(√(3))/(3)，
∴(CE)/(AE)=(√(3))/(3)．
则(CE2)/(AE2)=(1)/(3)，
即(16−x2)/((4+x)2)=(1)/(3)．
解得x=2或x=-4（舍去）．
故当x=2时，tan∠D=(√(3))/(3)．