已知f（x）在（-1，1）上有定义f(12)=1，且满足x，y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)，对数列x1=12，xn+1=2xnx2n（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；（2）求f（xn）的表达式．

Question

已知f（x）在（-1，1）上有定义f((1)/(2))=1，且满足x，y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy))，对数列x₁=(1)/(2)，x_n+1=(2xn)/(x2n)
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（2）求f（x_n）的表达式．

Answer 1

（1）证明：∵x．y∈（-1.1）有f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy))，
当x=y时，可得f（0）=0，
当x=0时f(0)-f(y)=f((0-y)/(1-0×y))=f(-y)，
∴f（-y）=-f（y）∴f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（2）∵f(xn+1)=f((2xn)/(1+x2n))=f((xn-(-xn))/(1-xn•(-xn)))
=f（x_n）-f（-x_n）=2f（x_n），
∴(f(xn+1))/(f(xn))=2又f(x1)=f((1)/(2))=1，
∴{f（x_n）}为等比数列，其通项公式为f(xn)=f(x1)•2n-1=2n-1．