已知数列{xn}满足x1=1/2,xn+1=1/(1+xn),n是正整数,证明Ixn+1-xnI≤（1/6）（2/5）^(n-1)求过程不等式的前面I是绝对值,用数学归纳法做

Question

已知数列{xn}满足x1=1/2,xn+1=1/(1+xn),n是正整数,证明Ixn+1-xnI≤（1/6）（2/5）^(n-1)
求过程不等式的前面I是绝对值,用数学归纳法做

Answer 1

当n=1时|X2-X1|=1/6成立
当n≥2时易知0＜Xn-1＜1
所以1+Xn-1＜2
所以Xn=1/（1+Xn-1）＞1/2
又有
|Xn+1-Xn|=|1/（1+Xn）-1/（1+Xn-1）|=|Xn-Xn-1|/[（1+Xn）*（1+Xn-1）]
又有注意到（1+Xn）*（1+Xn-1）=[1+1/（1+Xn-1）]*（1+Xn-1）=2+Xn-1≥2+1/2=5/2
所以|Xn+1-Xn|≤2/5|Xn-Xn-1|≤（2/5）²|Xn-1-Xn-2|≤.≤（2/5）ˆn-1*|X2-X1|=1/6（2/5）ˆn-1