设函数f（x）=2ln（x-1）-（x-1）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+x2-3x-a=0在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

Question

设函数f（x）=2ln（x-1）-（x-1）²．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若关于x的方程f（x）+x²-3x-a=0在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（1，+∞），
∵f′(x)＝2[(1)/(x−1)−(x−1)]＝−(2x(x−2))/(x−1)，
∵x＞1，则使f'（x）＞0的x的取值范围为（1，2），
故函数f（x）的单调递增区间为（1，2）．
（2）方法1：∵f（x）=2ln（x-1）-（x-1）²，
∴f（x）+x²-3x-a=0⇔x+a+1-2ln（x-1）=0．
令g（x）=x+a+1-2ln（x-1），
∵g'（x）=1-(2)/(x−1)＝(x−3)/(x−1)，且x＞1，
由g'（x）＞0得x＞3，g'（x）＜0得1＜x＜3．
∴g（x）在区间[2，3]内单调递减，在区间[3，4]内单调递增，
故f（x）+x²-3x-a=0在区间[2，4]内恰有两个相异实根⇔

g(2)≥0

g(3)＜0

g(4)≥0.

即

a+3≥0

a+4−2ln2＜0

a+5−2ln3≥0.

解得：2ln3-5≤a＜2ln2-4．
综上所述，a的取值范围是[2ln3-5，2ln2-4）．
方法2：∵f（x）=2ln（x-1）-（x-1）²，
∴f（x）+x²-3x-a=0⇔x+a+1-2ln（x-1）=0．
即a=2ln（x-1）-x-1，令h（x）=2ln（x-1）-x-1，
∵h'（x）=(2)/(x−1)−1＝(3−x)/(x−1)，且x＞1，
由h'（x）＞0得1＜x＜3，h'（x）＜0得x＞3．
∴h（x）在区间[2，3]内单调递增，在区间[3，4]内单调递减．
∵h（2）=-3，h（3）=2ln2-4，h（4）=2ln3-5，又h（2）＜h（4），
故f（x）+x²-3x-a=0在区间[2，4]内恰有两个相异实根⇔h（4）≤a＜h（3）．
即2ln3-5≤a＜2ln2-4．
综上所述，a的取值范围是[2ln3-5，2ln2-4）．