分段函数f（x）={e^(-1/x^2),x/=0.0,x=0}在0处的k阶导数f^(k)(0)=0,是怎么看的,(非诚勿扰,）

Question

分段函数f（x）={e^(-1/x^2),x/=0.0,x=0} 在0处的k阶导数f^(k) (0) = 0,是怎么看的,
(非诚勿扰,）

Answer 1

用定义：首先f'(0)=lim [f(x)-f(0)]/(x-0)=lim e^(-1/x^2)/x=lim t/e^(t^2)=0,后面是做变量替换t＝1/x,当x趋于0时,有t趋于无穷.因此得f'(x)=2e^(-1/x^2)/x^3,x不等于0时；f'(0)=0.归纳法证明f^(k)(x)=p_k(1/x)e^(-1/x^2),当x不等于0时；当x＝0时f^(k)(0)=0.其中p_k(t)是关于t的3k次多项式.证明：k＝1时已经证明.下证明f^(k+1)(x)有上面的表达式.f^(k+1)(0)=lim [f^(k)(x)-f^(k)(0)]/(x-0)=lim p_k(1/x)e^(-1/x^2)/x=lim tp_k(t)/e^(t^2)=0,t＝1/x,x趋于0等价于t趋于无穷.最后极限为0是因为对任意的n,有x趋于无穷时lim x^n/e^(x^2)=0.当x不等于0时,f^(k+1)(x)＝-(p'_k(1/x)/x^2)*e^(-1/x^2)-p_k(1/x)*2/x^3*e^(-1/x^2)=－e^(-1/x^2)(p'_k(1/x^2)x+2p_k(1/x))/x^3=e^(-1/x^2)p_(k+1)(1/x),因此结论成立.这样用归纳法证明f^(k)(0)=0.