已知a>0，函数f（x）=x-ax（x∈[1，2]）的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|≤1恒成立，则

Question

已知a>0，函数f（x）=x- (a)/(x)（x∈[1，2]）的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|≤1恒成立，则a的最大值是___．

Answer 1

∵f（x）=x-(a)/(x)（x∈[1，2]），a>0，
∴A（1，1-a），B（2，2-(a)/(2)）
∴直线l的方程为y=（1+(a)/(2)）（x-1）+1-a
设M（t，t-(a)/(t)）
∴N（t，（1+(a)/(2)）（t-1）+1-a）
∵|MN|≤1恒成立
∴|（1+(a)/(2)）（t-1）+1-a-（t-(a)/(t)）|≤1恒成立
∴|a(t2-3t+2)/(2t)|≤1
∵g（t）=t²-3t+2，在t∈[1，2]上小于等于0恒成立
∴-a(t2-3t+2)/(2t)≤1
①t=1或t=2时，0≤1恒成立．
②t∈（1，2）时，a≤(-2t)/(t2-3t+2)=(-2)/(t+(2)/(t)-3)
∴由基本不等式得：a≤(-2)/(2√(2)-3)=4√(2)+6
此时t=√(2)
∴a的最大值为6+4√(2)