∫∫f（x,y）dxdy,其中f（x,y）＝min（x,y）,D由x＝0,x＝1,y＝0,y＝1所围成问题是求这个二重积分。

Question

∫∫f（x,y）dxdy,其中f（x,y）＝min（x,y）,D由x＝0,x＝1,y＝0,y＝1所围成
问题是求这个二重积分。

Answer 1

积分区域是一个正方形：0≤x≤1,0≤y≤1
用y=x将区域分为两部分,D1为左上区域,D2为右下区域,
在D1中,y>x,则min(x,y)=x；
在D2中,y1]∫[x--->1] xdydx+∫[0---->1]∫[y---->1] ydxdy
=∫[0---->1] xy |[x--->1] dx+∫[0---->1] xy |[y---->1] dy
=∫[0---->1] (x-x²) dx+∫[0---->1] (y-y²) dy
=(1/2)x²-(1/3)x³ |[0---->1] +(1/2)y²-(1/3)y³ |[0---->1]
=1/2-1/3+1/2-1/3
=1/3