如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连结EC、BD．(1)求证：ΔABD∽ΔACE；(2)若ΔBEC与ΔBDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状．

Question

如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连结EC、BD．
(1)求证：ΔABD∽ΔACE；
(2)若ΔBEC与ΔBDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状．

Answer 1

(1) 证明见解析(2) 等腰三角形

（1）证明：∵弧ED所对的圆周角相等，∴∠EBD=∠ECD，
又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE。
（2）△ABC为等腰三角形。理由如下：
∵S _{△ BEC} =S _{△ BCD} ，S _{△ ACE} =S _{△ ABC} －S _{△ BEC} ，S _{△ ABD} =S _{△ ABC} －S _{△ BCD} ，
∴S _{△ ACE} =S _{△ ABD} 。
又由（1）知△ABD∽△ACE，∴对应边之比等于1。
∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形。
（1）利用圆周角定理得出∠EBD=∠ECD，再利用∠A=∠A，得出△ABD∽△ACE。
（2）根据△BEC与△BDC的面积相等，得出S _{△ ACE} =S _{△ ABD} ，进而求出AB=AC，得出答案。