如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF。求证：（1）AF∥BE；（2）△ACP∽△FCA；（3）CP=AE。

Question

如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF。求证：

（1）AF∥BE；
（2）△ACP∽△FCA；
（3）CP=AE。

Answer 1

（1）∵∠B、∠F同对劣弧AP ，
∴∠B=∠F
∵BO=PO，
∴∠B=∠BPO
∴∠F=∠BPF，
∴AF∥BE。
（2）∵AC切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BPA=90°
∴∠EAP =90°-∠BEA，∠B=90°-∠BEA，
∴∠EAP=∠B=∠F
又∠C=∠C，
∴△ACP∽△FCA。
（3）∵∠CPE=∠BPO=∠B=∠EAP，∠C=∠C
∴△PCE∽△ACP
∴
∵∠EAP=∠B，∠EPA=∠APB=90°
∴△EAP∽△ABP
∴
又AC=AB
∴
于是有
∴CP=AE。