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(1)如图①,P为△ABC的边AB上一点(P不与点A、点B重合),连接PC,如果△CBP∽△ABC,那么就称P为△ABC的边AB上的相似点.画法初探①如图②,在△ABC中,∠ACB>90°,画出△ABC的边AB上的
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(1)如图①,P为△ABC的边AB上一点(P不与点A、点B重合),连接PC,如果△CBP∽△ABC,那么就称P为△ABC的边AB上的相似点.
画法初探
①如图②,在△ABC中,∠ACB>90°,画出△ABC的边AB上的相似点P(画图工具不限,保留画图痕迹或有必要的说明);
辩证思考
②是不是所有的三角形都存在它的边上的相似点?如果是,请说明理由;如果不是,请找出一个不存在边上相似点的三角形;
特例分析
③已知P为△ABC的边AB上的相似点,连接PC,若△ACP∽△ABC,则△ABC的形状是___;
④如图③,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,P是边AB上的相似点,求
的值.
(2)在矩形ABCD中,AB=a,BC=b(a≥b).P是AB上的点(P不与点A、点B重合),作PQ⊥CD,垂足为Q.如果矩形ADQP∽矩形ABCD,那么就称PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线.
①类比(1)中的“画法初探”,可以提出问题:对于如图④的矩形ABCD,在不限制画图工具的前提下,如何画出它的边AB、CD上的相似线PQ呢?
你的解答是:___(只需描述PQ的画法,不需在图上画出PQ).
②请继续类比(1)中的“辩证思考”、“特例分析”两个栏目对矩形的相似线进行研究,要求每个栏目提出一个问题并解决.
画法初探
①如图②,在△ABC中,∠ACB>90°,画出△ABC的边AB上的相似点P(画图工具不限,保留画图痕迹或有必要的说明);
辩证思考
②是不是所有的三角形都存在它的边上的相似点?如果是,请说明理由;如果不是,请找出一个不存在边上相似点的三角形;
特例分析
③已知P为△ABC的边AB上的相似点,连接PC,若△ACP∽△ABC,则△ABC的形状是___;
④如图③,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,P是边AB上的相似点,求
BP |
AP |
(2)在矩形ABCD中,AB=a,BC=b(a≥b).P是AB上的点(P不与点A、点B重合),作PQ⊥CD,垂足为Q.如果矩形ADQP∽矩形ABCD,那么就称PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线.
①类比(1)中的“画法初探”,可以提出问题:对于如图④的矩形ABCD,在不限制画图工具的前提下,如何画出它的边AB、CD上的相似线PQ呢?
你的解答是:___(只需描述PQ的画法,不需在图上画出PQ).
②请继续类比(1)中的“辩证思考”、“特例分析”两个栏目对矩形的相似线进行研究,要求每个栏目提出一个问题并解决.
▼优质解答
答案和解析
(1)①如图②,在∠ACB内,作∠ACE=∠ABC,BE交AB于点P,则点P为△ABC的自相似点;
②不是,如正三角形.
③直角三角形.
故答案为:直角三角形.
④∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,
∴∠B=∠ACB=72°.
∵P是△ABC边AB上的相似点.
∴△CBP∽△ABC.
∴∠BCP=∠A=36°,且
=
,
∴∠ACP=36°=∠A,∠B=∠BPC.
∴AP=CP=BC.
设BP=x,AP=CP=BC=y,有
=
.
化简,得x2+xy-y2=0.
舍去负根,得
=
,即
=
,
(2)①在距离A点
处取点P,作PQ⊥CD,垂足为Q.
故答案为:在距离A点
处取点P,作PQ⊥CD,垂足为Q.
②辩证思考
问题:是不是所有的矩形都存在它的边上的相似线?如果是,请说明理由;如果不是,请找出一个不存在边上相似线的矩形.
不是,如正方形.
特例分析:
问题:已知PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线,且P是AB的中点,a、b之间有何数量关系?
如图④,
∵PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线,且P是AB的中点,
∴BP=
∵矩形ABCD∽矩形BCQP,
∴
=
∴
=
,
∴a=
b.
②不是,如正三角形.
③直角三角形.
故答案为:直角三角形.
④∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,
∴∠B=∠ACB=72°.
∵P是△ABC边AB上的相似点.
∴△CBP∽△ABC.
∴∠BCP=∠A=36°,且
BP |
BC |
BC |
AB |
∴∠ACP=36°=∠A,∠B=∠BPC.
∴AP=CP=BC.
设BP=x,AP=CP=BC=y,有
x |
y |
y |
y+x |
化简,得x2+xy-y2=0.
舍去负根,得
x |
y |
| ||
2 |
BP |
AP |
| ||
2 |
(2)①在距离A点
a2 |
b |
故答案为:在距离A点
a2 |
b |
②辩证思考
问题:是不是所有的矩形都存在它的边上的相似线?如果是,请说明理由;如果不是,请找出一个不存在边上相似线的矩形.
不是,如正方形.
特例分析:
问题:已知PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线,且P是AB的中点,a、b之间有何数量关系?
如图④,
∵PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线,且P是AB的中点,
∴BP=
a |
2 |
∵矩形ABCD∽矩形BCQP,
∴
AD |
AB |
BP |
BC |
∴
b |
a |
| ||
b |
∴a=
2 |
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