如图，已知ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上的一点，且有∠BAE=∠DAC．求证：（1）△ABE∽△ACD；（2）AB•DC+AD•BC=AC•BD．

Question

如图，已知ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上的一点，且有∠BAE=∠DAC．
求证：（1）△ABE∽△ACD；（2）AB•DC+AD•BC=AC•BD．

Answer 1

证明：（1）∵∠ABD=∠ACD，
而∠BAE=∠DAC，
∴△ABE∽△ACD；
（2）连接BC，如图，
∵△ABE∽△ACD，
∴∠1=∠ADC，
而∠ADC+∠ABC=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠ABC=∠2，
又∵∠ACB=∠ADE，
∴△ABC∽△AED，
∴AC•DE=AD•BC，
而DE=BD-BE，
∴AC•（BD-BE）=AD•BC，即AC•BD=AC•BE+AD•BC；
又由△ABE∽△ACD，
∴AB•DC=AC•BE，
∴AB•DC+AD•BC=AC•BD．