（2005•闸北区一模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，BD=DC，BE=AF，EF交AD于点G．（1）求证：DE=DF；（2）求证：△DEG∽△DCF；（3）如果AB=3BE，BE=22，求

Question

（2005•闸北区一模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，BD=DC，BE=AF，EF交AD于点G．
（1）求证：DE=DF；
（2）求证：△DEG∽△DCF；
（3）如果AB=3BE，BE=2√(2)，求出所有与△BDE相似的三角形的面积．

Answer 1

（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵BD=DC，
∴AD=(1)/(2)BC=CD，且∠BAD=(1)/(2)∠BAC=45°，
∴∠BAD=∠C，
∵BE=AF，
∴AE=CF，
∵AD=CD，∠BAD=∠C，AE=CF，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，

（2）∵△ADE≌△CDF，
∴∠EDG=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADF+∠EDG=90°，
∴∠DEF=45°，
∴∠DEF=∠C，
∵∠EDG=∠CDF，∠DEF=∠C，
∴△DEG∽△DCF，

（3）作EH⊥BC于H．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，
∵BE=2√(2)，
∴EH=BH=2，
∴S_△BDE=6，
∵AB=3BE，
∴AE=4√(2)，BD=3BH=6，
∴HD=4，
∴在Rt△DEH中，DE=√(EH2+HD2)=2√(5)，
∴DF=DE=2√(5)，
∴△BDE∽△ADF∽△FDG∽△AEG，
∵S_△ADF：S_△BDE=DA²：BD²=1，
∴S_△ADF=S_△BDE=6；
∵S_△FDG：S_△BDE=DF²：BD²=（2√(5)）²：6²=5：9，
∴S_△FDG=(5)/(9)×6=(10)/(3)，
∵S_△AEG：S_△BDE=AE²：BD²=（4