如图，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，点E在BC上，点F在AC上，∠DFC=∠AEB．（1）求证：△ADF∽△CAE；（2）当AD=8，DC=6，点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积？

Question

如图，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，点E在BC上，点F在AC上，∠DFC=∠AEB．

（1）求证：△ADF∽△CAE；
（2）当AD=8，DC=6，点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积？

Answer 1

（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAF=∠ACE；
∵∠DFC=∠AEB，∴∠DFA=∠AEC；
∴△ADF∽△CAE；
（2）由（1）知：△ADF∽△CAE，
∴(AD)/(CA)=(AF)/(CE)；
∵AD=8，DC=6，∠ADC=90°，
∴AC=√(82+62)=10；
又F是AC的中点，∴AF=(1)/(2)AC=5；
∴(8)/(5)=(10)/(CE)，解得CE=(25)/(4)；
∵E是BC的中点，
∴BC=2CE=(25)/(2)；
∴直角梯形ABCD的面积=(1)/(2)×（(25)/(2)+8）×6=(123)/(2)．