（1）如图1，已知E是矩形ABCD的边AB上一点，EF⊥DE交BC于点F，证明：△ADE∽△BFE．这个相似的基本图形像字母K，可以称为“K”型相似，但更因为图形的结构特征是一条线上有3个垂直关系，也

Question

（1）如图1，已知E是矩形ABCD的边AB上一点，EF⊥DE交BC于点F，证明：△ADE∽△BFE．
这个相似的基本图形像字母K，可以称为“K”型相似，但更因为图形的结构特征是一条线上有3个垂直关系，也常被称为“一线三垂直”，那普通的3个等角又会怎样呢？
（2）变式一如图2，已知等边三角形ABC，点D、E分别为BC，AC上的点，∠ADE=60°．
①图中有相似三角形吗？请说明理由．
②如图3，若将∠ADE在△ABC的内部（∠ADE两边不与BC重合），绕点D逆时针旋转一定的角度，还有相似三角形吗？___（若有请写出相似三角形，没有则填“无”）
（3）变式二如图4，隐藏变式1图形中的线段AE，在得到的新图形中．
①如果∠B=∠C=∠ADE=50°，图中有相似三角形吗？请说明理由．
②如图5，若∠B=∠C=∠ADE=∠a，∠a为任意角，还有相似三角形吗？___．（若有请写出相似三角形，没有则填“无”）
（4）交式三已知，相邻两条平形直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则cosa的值是___（直接写出结果）．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠BEF=90°，
∴∠ADE=∠BEF，
∵∠A=∠B=90°，
∴△ADE∽△BEF；
（2）①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD=120°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△CDE；
②∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
根据三角形的内角和定理得，∠FDB+∠BFD=120°，
∵∠FDE=60°，
∴∠FDB+∠EDC=120°，
∴∠BFD=∠CDE，
∵∠B=∠C=60°，
∴△FBD∽△CDE；
故答案为：△FBD∽△CDE；
（3）①∠B=∠C=50°，
根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD=130°，
∵∠ADE=50°，
∴∠ADB+∠EDC=130°，
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠B=∠C=130°，
∴△ABD∽△CDE；
②B=∠C=α，根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD=180°-α，
∵∠ADE=α，
∴∠ADB+∠EDC=180°-α，
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠B=∠C=α，
∴△ABD∽△DCE；
故答案为：△ABD∽△DCE；
（4）过点A作A⊥l₁，过点B作BE⊥l₁交l₃于F，
∴∠AFB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

∠ADC=∠CEB=90°

∠CAD=∠BCE

AC=BC

，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=CE，CD=BE，
设平行线间的距离为d，
∴AD=CE=2d，BE=CD=d，
∴DE=CD+CE=3d，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AF=DE=3d，BF=d，
在Rt△ABF中，AB=√(AF2+BF2)=√(10)d，
∴cosα=(AF)/(AB)=(3d)/(√(10)d)=(3√(10))/(10)．