如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D是劣弧AC的中点，DE⊥AB于H，交⊙O于点E，交AC于点F．（1）图中有哪些必相等的线段？（要求：不要标注其它字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现

Question

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D是劣弧AC的中点，DE⊥AB于H，交⊙O于点E，交AC于点F．
（1）图中有哪些必相等的线段？（要求：不要标注其它字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不必写出推理过程．）
（2）若过C点作⊙O的切线PC交ED延长线于P点，（请补全图形），求证：PF²=PD•PE；
（3）已知AH=1，BH=4，求PC的长．

Answer 1

（1）AO=BO，DH=EH，DF=AF，AC=DE；

（2）证明：连EC，AE，
则∠PFC是△ECF的一个外角，于是∠PFC=∠ACE+∠FEC；
∵DH⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴A是DE中点，即弧AD=弧AE，
∴∠AED=∠ACE，
∴∠ACE+∠FEC=∠AED+∠DEC=∠AEC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCA=∠AEC．
∴∠PCA=∠PFC，
∴PC=PF．
∵PC是切线
∴PC²=PD•PE，
∴PF²=PD•PE；

（3）在⊙O中，AH•HB=DH•HE=DH²，
∴DH＝√(AH•HB)＝√(1×4)＝2
设AF=x，则FH=2-x．
在Rt△AFH中，AH²+FH²=AF²
∴1+（2-x）²=x²，
∴x=(5)/(4)，即AF＝(5)/(4)．
于是DF＝(5)/(4)．
由（1）（2）知HE=HD=2，
(PD+(5)/(4))2＝PD•(PD+4)，
解得PD＝(25)/(24)．
∴PF=PD+DF=(55)/(24)．
∴PC=PF=(55)/(24)．