如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，DC⊥AB于点D，D′C′⊥A′B′于点D′，且ACA′C′=CDC′D′．求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．

Question

如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，DC⊥AB于点D，D′C′⊥A′B′于点D′，且(AC)/(A′C′)=(CD)/(C′D′)．求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．

Answer 1

证明：设(AC)/(A′C′)=(CD)/(C′D′)=k，则AC=kA′C′，CD=kC′D′
∵DC⊥AB于点D，D′C′⊥A′B′于点D′，
∴∠ADC=∠A′D′C′=90°，
在Rt△ADC中，AD=√(AC2-CD2)=√(k2A′C′2-k2C′D′2)=k√(A′C′2-C′D′2)，
在Rt△A′D′C′中，A′D′=√(A′C′2-C′D′2)，
∴AD=kA′D′，
∴(AC)/(A′C′)=(CD)/(C′D′)=(AD)/(A′D′)=k，
∴△ADC∽△A′D′C′，
∴∠A=∠A′，
∵∠ACB=∠A′C′B′=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．