如图,在平面直角坐标系XOY内,将Rt△AOB逆时针旋转90°至Rt△COD（即△AOB≌△COD）,M、N分别是AB、CD的中点（1）求证：△MON是等腰直角三角形；（2）如果∠OAB=30°,设OB=x,MN=y,求y与x

Question

如图,在平面直角坐标系 XOY 内,将 Rt△AOB 逆时针旋转 90°至 Rt△COD（即△AOB≌△ COD） ,M、N 分别是 AB、CD 的中点 （1）求证：△MON 是等腰直角三角形； （2）如果∠OAB=30°,设 OB=x,MN=y,求 y 与 x 之间的函数解析式,并写出自变量 x 的取值范围； （3）当△AOB 是什么三角形时,MN 与 x 轴平行,并写出 S△AOB 与 S△MON 之间的关系

Answer 1

（1）由于三角形COD是三角形AOB旋转得,DO和AO在一条直线上
连接OM,ON,由于△AOB≌△ COD得∠B=∠C,OC=OB,由于MN是AB,DC的中点,故MB=CN,所以△OMB≌△OCN,所以OM=ON
由于△OMB≌△OCN,所以∠MOB=∠NOC且∠AOB=90°所以∠NOM=90°
所以△NOM是等腰直角三角形
（2）由于∠OAB=30°,所以OB=AM=MB,∠OBM=60°,所以△OBM是等边三角形,所以OM=OB=MB,由于△NOM是等腰直角三角形所以ON=OM=x,MN=y,由直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,故y=x乘以根号2
（3）设当△AOB是等腰直角三角形时,MN平行于x轴,
由于△AOB与△COD是等腰三角形,故∠ABO=∠BAO=∠CDO=∠DCO=45°,
所以∠DBA=90°由于CN=ND=BM=MA,所以△NCM∽△DCA,故MN∥x轴,
设OA=2m,则AM=m,由于△NOM是等腰直角三角形,且△AOB是等腰直角三角形,所以OM=AM,所以S△AOB=2m²,S△MON=2分之1m²,所以S△AOB=4S△MON