在等腰Rt△ABC和等腰Rt△A1B1C1中，斜边B1C1中点O也是BC的中点．（1）如图1，则AA1与CC1的数量关系是；位置关系是．（2）如图2，将△A1B1C1绕点O顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成

Question

在等腰Rt△ABC和等腰Rt△A₁B₁C₁中，斜边B₁C₁中点O也是BC的中点．
（1）如图1，则AA₁与CC₁的数量关系是___；位置关系是___．
（2）如图2，将△A₁B₁C₁绕点O 顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成立，请证明你的结论．
（3）如图3，在（2）的基础上，直线AA₁、CC₁交于点P，设AB=4，则PB长的最小值是___．

Answer 1

（1）连接AO，A₁O，如图1，
∵△ABC和△A₁B₁C₁都是等腰直角三角形，斜边B₁C₁中点O也是BC的中点，
∴AO⊥OC，AO=OC，A₁O⊥OC₁，OA₁=OC₁，
∴A点、A₁点、O点共线，
∴AA₁⊥C₁C，OA-OA₁=OC-OC₁，
∴AA₁=C₁C；
（2）上述结论仍然成立．理由如下：
连接OA，A₁O，如图2，
∵△A₁B₁C₁绕点O 顺时针旋转一定角度，
∴∠AOA₁=∠COC₁，
在△OAA₁和△OCC₁中，

OA=OC

∠AOA1=∠COC1

OA1=OC1

，
∴△OAA₁≌△OCC₁，
∴AA₁=C₁C，∠OAA₁=∠OCC₁，
延长AA₁交CC₁于H，交BC于M，如图2，
∵∠AMO=∠CMH，
∴∠MHC=∠MOA=90°，
∴AA₁⊥C₁C．
（3）∵AA₁⊥C₁C，
∴∠APC=90°，
∴点P在以AC为直径的圆上，
以AC为直角作 Q，连接BQ交 Q于P′，如图3，此时BP′最小，
在Rt△ABQ中，BQ=√(AB2+AQ2)=√(42+22)=2√(5)，
∴BP′=BQ-QP′=2√(5)-2，
∴PB长的最小值是2√(5)-2．
故答案为：相等、垂直；2√(5)-2．