如图，抛物线y=mx2+3mx-3（m＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，且tan∠OCB＝13．（1）求此抛物线的解析式；（2）如果点D是线段AC下方抛物线上的动点，设D点的横坐标为x

Question

如图，抛物线y=mx²+3mx-3（m＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，且tan∠OCB＝(1)/(3)．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如果点D是线段AC下方抛物线上的动点，设D点的横坐标为x，△ACD的面积为S，求S与x的关系式，并求当S最大时点D的坐标；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点的平行四边形？若存在求点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由抛物线y=mx²+3mx-3，得C（0，-3），
∵tan∠OCB＝(1)/(3)，∠COB=90°，
∴(OB)/(OC)＝(1)/(3)，∴B（1，0），
∵抛物线y=mx²+3mx-3（m＞0）过点B，
∴m+3m-3=0，∴m=(3)/(4)，
∴抛物线的解析式为y＝(3)/(4)x2+(9)/(4)x−3；

（2）如图1，∵抛物线对称轴为x＝−(3)/(2)，B（1，0），∴A（-4，0）连接OD，
∵点D在抛物线y＝(3)/(4)x2+(9)/(4)x−3上，
∴设点D（x，(3)/(4)x2+(9)/(4)x−3），
则S_△ACD=S_△AOD+S_△DOC-S_△AOC
=(1)/(2)×4(−(3)/(4)x2−(9)/(4)x+3)+(1)/(2)×3(−x)−(1)/(2)×4×3
=−(3)/(2)x2−6x，
∴S=−(3)/(2)(x+2)2+6，
∴当x=-2时，△ACD的面积S有最大值为6．
此时，点D的坐标为（-2，−(9)/(2)）．

（3）①如图2，当以AC为边，CP也是平行四边形的边时，CP∥AE，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，此时P（-3，-3）．
②如图3，当以AC为对角线，CP为边时，此时P点的坐标是（-3，-3）．
③如图4、图5，当以AC为边，CP是平行四边形的对角线时，点P、C到x轴的距离相等，
则(3)/(4)x2+(9)/(4)x−3=3，解得x＝(−3±√(41))/(2)，
此时P（(−3−√(41))/(2)，3）（如图4），或（(−3+√(41))/(2)，3）（如图5），


综上所述，存在三个点符合题意，分别是P₁（-3，-3），P₂（(−3−√(41))/(2)，3），P₃（(−3+√(41))/(2)，3）．