（2013•济南二模）设P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上相异两点，Q、P到y轴的距离的积为4且OP•OQ＝0．（1）求该抛物线的标准方程．（2）过Q的直线与抛物线的另一交点为R，

Question

（2013•济南二模）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是抛物线y²=2px（p＞0）上相异两点，Q、P到y轴的距离的积为4且

OP

•

OQ

＝0．
（1）求该抛物线的标准方程．
（2）过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．

Answer 1

（1）∵

OP

•

OQ

=0，则x₁x₂+y₁y₂=0，
又P、Q在抛物线上，故y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
故得(y12)/(2p)•(y22)/(2p)+y₁y₂=0，∴y₁y₂=-4p²，
∴|x1x2|＝((y1y2)2)/(4p2)＝4p2，
又|x₁x₂|=4，故得4p²=4，p=1．
所以抛物线的方程为y²=2x；
（2）如图，设直线PQ过点E（a，0）且方程为x=my+a
联立方程组

x＝my+a

y2＝2x

，消去x得y²-2my-2a=0
∴√(y1+y2＝2m作业帮用户2016-12-16问题解析（1）由OP•OQ=0，结合点P，Q在抛物线上，代入坐标后得到y1y2=-4p2，把纵坐标转化为横坐标后利用|x1x2|=4可求得p的值，则抛物线方程可求；（2）连接PQ，PR分别叫x轴与点E，M，设出E和M的坐标，同时设出PQ，PR所在的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出P，Q，R三点纵坐标的关系，再根据Q是T和R的中点找到E和M的坐标的关系，最终求出P和R纵坐标的乘积，用含有纵坐标的弦长公式写出弦PR长度，代入纵坐标的乘积后利用单调性求最小值．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．考点点评：本题考查了抛物线的方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)