已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．求证：（1）x1x2为定值；（2）1|FA|+1|FB|为定值．

Question

已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．求证：
（1）x₁x₂为定值；
（2）(1)/(|FA|)+(1)/(|FB|)为定值．

Answer 1

（1）抛物线的焦点为F（(p)/(2)，0），设直线AB的方程为y=k（x-(p)/(2)）（k≠0），
由

y＝k(x−(p)/(2))

y2＝2px

，消去y，得k²x²-p（k²+2）x+(k2p2)/(4)=0，
由根与系数的关系，得x₁x₂=(p2)/(4)（定值）．
当AB⊥x轴时，x₁=x₂=(p)/(2)，x₁x₂=(p2)/(4)，也成立．
（2）由抛物线的定义，知|FA|=x₁+(p)/(2)，|FB|=x₂+(p)/(2)．
(1)/(|FA|)+(1)/(|FB|)=(1)/(x1+(p)/(2))+(1)/(x2+(p)/(2))=(x1+x2+p)/(x1•(p)/(2)+x2•(p)/(2)+x1x2+(p2)/(4))=(2)/(作业帮用户2017-10-01问题解析（1）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1x2的值，最后验证斜率不存在时的情况．（2）由抛物线的定义分别表示出|FA|，|FB|，代入(1)/(|FA|)+(1)/(|FB|)整理得到定值，最后验证斜率不存在时的情况．名师点评本题考点：抛物线的简单性质．考点点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的关系．在设直线方程时，一定不要忘了斜率不存在时的情况．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)